De cursus Getaltheorie is onderdeel van het studieprogramma van de eerstegraads lerarenopleiding van Hogeschool Utrecht. Het wordt gegeven in de maanden februari en maart. In de cursus worden een aantal elementaire resultaten uit de getaltheorie behandeld, die mede voortkomen uit de landelijke kennisbasis (domein 3.2) voor de lerarenopleidingen. Deze inhoud betreft vooral verdieping in het zogenaamde 'klokrekenen', of – zoals we dat in deze cursus zullen noemen – de algebra van restklassen modulo $n$. Aan dit conceptuele kader worden een aantal belangrijke wiskundige structuren en methoden gekoppeld die ook in andere domeinen, en in het voortgezet onderwijs, belangrijk zijn. In het bijzonder gaan we in op algoritmiek, dat aansluit op de oriëntatie op computational thinking in de actuele curriculumontwikkeling in het VO.

Leerdoelen en toetsing

Er zijn vier dossieronderdelen die ieder een ander leerdoel toetsen. De volgende tabel maakt dit inzichtelijk. De weken die vermeld zijn, betreffen de week vanaf wanneer de opdracht via deze site beschikbaar is en de weken waarin gesuggereerd wordt eraan te werken. De planning heb je echter zelf in de hand, zolang alles maar 6 april 2025 (het weekend na de toetsweek van periode C) is ingeleverd. Bedenk wel dat afwijken van de voorgestelde planning betekent dat de ondersteuning vanuit de opleiding niet optimaal is. De opdrachten maak je in beginsel in een drietal.

De specifieke opdrachten zijn bij week 7 op een rijtje gezet. Hier staat ook hoe je ze kunt inleveren.

In de weken voor en na publicatie van de toetsopdrachten zijn er formatieve onderdelen om zicht te krijgen op zowel de toetsvormen als de mate waarin je de onderliggende leerdoelen beheerst. We lopen de onderdelen af:

• Opdrachtenbundel. Er zijn zeven inleveropdrachten. In de inleveropdrachten laat je zien dat je de aangereikte stellingen zorgvuldig kunt bewijzen. De eerste vijf inleveropdrachten worden steekproefsgewijs bekeken en moeten voldaan zijn. Het advies is dat je ze de week na publicatie inbrengt in de feedbackronden die we in deze cursus organiseren. De laatste twee opdrachten verschijnen na lesweek 7 en worden beoordeeld met een cijfer ($c_1$) aan de hand van een beoordelingsmodel. Zijn de eerste vijf opdrachten echter niet voldaan, dan wordt een "NA" (niet aanwezig) geregistreerd. Criteria voor beoordeling zijn: (i) compleetheid van redeneringen, (ii) correctheid van formulering en notatie, en (iii) schoonheid van argumentatie en presentatie.
• Heuristiekboom-opdracht. Je krijgt een uitgewerkt bewijs aangereikt, of een stelling waarvan het bewijs op diverse plekken (internet) te vinden is. De opdracht is om hier een heuristiekboom bij te ontwerpen aan de hand van de fases van probleemaanpak van Pólya. Beoordeling gebeurt aan de hand van een rubric. Getoetst wordt in hoeverre je de structuur van een bewijs weet te doorgronden. De opdracht wordt beoordeeld met een cijfer ($c_2$).
• RSA-computeropdracht. In een computeropdracht op deze site (te vinden bij week 6) laat je zien het RSA-algoritme voor cryptografie met authentiek grote getallen (>100 cijfers) te kunnen hanteren. De opdracht moet voldaan zijn.
• Algoritmevraagstuk. Dit is een relatief kleine opdracht waarin je aantoont een algoritme te kunnen analyseren op correctheid en complexiteit. Het wordt beoordeeld met een nakijkmodel dat leidt tot een cijfer ($c_3$).

Het eindcijfer van de cursus valt uiteen in twee delen, apart geregistreerd in Osiris als TOETS1 en TOETS2. De eerste wordt als voldaan/niet voldaan geregistreerd, afhankelijk van het resultaat van de RSA-computeropdracht. Voor TOETS2 geldt dat het cijfer gelijk is aan ${}=\frac14(2c_1+c_2+c_3)$.

Het gebruik van AI bij de algoritmiek en heuristiekbomen-opdracht is toegestaan. In dat geval schrijf je een paragraaf waarin je toelicht hoe en waar je AI hebt ingezet bij het maken van de opdrachten. Om redenen die tijdens college hopelijk helder worden, is het inzetten van AI bij de RSA-opdracht niet realistisch. De wekelijkse inleveropdrachten zijn eigen werk. Het is, mits je zo'n AI-paragraaf schrijft, toegestaan AI als sparringpartner te gebruiken. Ieder groepslid moet desnoods het groepswerk kunnen uitleggen.

Leeromgeving

Alle theorie die hoort bij de leerdoelen en de toetsing staat in het dictaat.

Bij de leerdoelen is een leerlijn gemaakt, die verspreid is over zeven lesweken. Deze weken corresponderen met aparte pagina's op deze site. Binnen een week is de theorie ook weer gestructureerd in kleinere onderdelen: dit wordt steeds aangeduid als 'kern'. Daarnaast biedt iedere week aanvullende ondersteuning bij het leren. Je mag zelf bepalen welke ondersteuning je wel of niet gebruikt. Het betreft onder meer:

	kennisclips met uitleg van de theorie;
	verwijzingen naar het bij deze cursus aanbevolen boek van De Weger, dat vaak een andere manier van uitleggen heeft dan het dictaat, hetgeen verfrissend kan werken;
	verwerkingsopgaven, die voorbereiden op de bundelopdrachten (van de toetsing) en zicht geven op het gevraagde eindniveau, met de kanttekening dat begrip (bijvoorbeeld verkregen met behulp van het volgende onderdeel) veel belangrijker is dan het zelfstandig kunnen verzinnen van bewijzen;
	heuristiekbomen bij vrijwel iedere verwerkingsopgave, die ondersteuning bieden zonder door antwoord weg te geven het leerproces meteen te onderdrukken;
	werksessies en plenaire bijeenkomsten op woensdag (zie hieronder).

Werksessies en plenaire bijeenkomsten

Op woensdagen in de lesweken zijn er werksessies in groepjes en plenaire bijeenkomsten in twee tijdsintervallen: 10:30–15:00 (met pauzes). Dit gebeurt in het HU-gebouw; zie het rooster voor de lokalen.

De plenaire bijeenkomsten zijn nadrukkelijk niet bedoeld als hoorcolleges waarin de stof systematisch wordt behandeld, want daartoe dient deze site met onder andere het dictaat en de filmpjes. In de bijeenkomsten worden de lastige onderdelen uitgelicht. Het programma van de bijeenkomsten wordt in grote mate bepaald door jullie, de studenten: je kunt op deze site aangeven welke onderdelen je graag behandeld wil zien en ook inbreng van medestudenten 'liken'. Dat gebeurt aan de hand van de 'democratische agenda', die in iedere lesweek op deze site te benaderen is.

In de werksessies maak je ook gezamenlijk de opgaven en verzamel je feedback op de bundeloppdrachten.

RSA-computeropdracht

Bij de computeropdracht over cryptografie is software nodig. Deze is gratis beschikbaar, maar voor de installatie moet wel Java worden geactiveerd. Soms geeft installeren hiervan wat gedoe, dus zorg dat je het op tijd probeert. Zie de instructies. Per tweetal is één laptop waarop het werkt in principe voldoende. Neem gerust contact op met de docent als het niet lukt. In lesweek 6 gaan we de computeropdracht tijdens de werksessie maken en meteen ook afronden, maar als dat je beter uitkomt, mag je het ook buiten die sessie om doen.

Mensen die van dit soort uitdagingen houden, kunnen als alternatief proberen om het uiterst krachtige programma Pari te installeren. Er is een korte handleiding beschikbaar.

Docent

De cursus wordt begeleid door Corwin van Schendel. Hij is bereikbaar via MS Teams, per mail: corwin.vanschendel@hu.nl en tijdens de activiteiten op de woensdagen. Benader hem gerust met inhoudelijke en procedurele vragen, en zeker ook met feedback ter verbetering van deze cursus!

Colofon

Deze site is voor heel de wereld toegankelijk. Het materiaal is vrij te gebruiken onder de Creative commons licentie Naamsvermelding-GelijkDelen. Omwille van de privacy of om de organisatie van de cursus niet in gevaar te brengen, zijn enkele onderdelen alleen beschikbaar voor studenten van Hogeschool Utrecht die zijn ingeschreven voor de cursus. Dat betreft de mogelijkheid om de democratische agenda mede te bepalen, links naar online bijeenkomsten, sommige onderdelen van de toetsing en een enkel onderdeel waar namen van studenten worden getoond.