VRAAG 1

Hieronder is een aantal operaties beschreven. Vink alle aan die commutatief zijn.

De operatie vermenigvuldiging op de verzameling rationale getallen $\QQ$. De operatie optelling op de verzameling n-dimensionale vectoren $\RR^n$. De operatie vermenigvuldiging op de verzameling $n\times n$-matrices ($n\ge2$). De operatie machtsverheffen op de verzameling positieve gehele getallen $\NN_{\ge1}$. De operatie aftrekken op de verzameling reële getallen $\RR$.

Commutativiteit betekent $a+b=b+a$ (voor alle $a$ en $b$). Optelling van breuken ($\QQ$) en vectoren is commutatief. De eerste twee opties zijn dus correct. De andere echter niet. Matrixvermenigvuldiging is het standaardvoorbeeld van een niet-commutatieve operatie. Een tegenvoorbeeld voor machtsverheffen is $2^3\not=3^2$; en voor aftrekken: $1-0\not=0-1$.

Verder

VRAAG 2

Hieronder is een aantal operaties beschreven. Vink alle aan die associatief zijn.

De operatie optellen op de verzameling natuurlijke getallen $\NN$. De operatie aftrekken op de verzameling gehele getallen $\ZZ$. De operatie delen op de verzameling positieve reële getallen $\RR_{>0}$. De operatie vermenigvuldigen op de verzameling $2\times 2$-matrices. De operatie machtsverheffen op de verzameling positieve gehele getallen $\NN_{\ge1}$.

Associativiteit betekent $(a+b)+c=a+(b+c)$ (voor alle $a$, $b$ en $c$). Dit geldt voor optellen van getallen en voor vermenigvuldiging van matrices. Dat zijn dus optie 1 en 4. De andere opties zijn niet associatief. Tegenvoorbeelden zijn respectievelijk: $(3-2)-1\not=3-(2-1)$ en $(4/2)/2\not=4/(2/2)$ en $(2^3)^2\not=2^{(3^2)}$.

Verder

VRAAG 3

Hieronder is een aantal operaties beschreven. Vink alle aan waarvoor er een neutraal element bestaat.

De operatie vermenigvuldigen in de verzameling $\QQ\setminus\{0\}$. De operatie machtsverheffen op de verzameling positieve gehele getallen $\NN_{\ge1}$. De operatie vermenigvuldigen op de verzameling $n\times n$-matrices. De operatie optellen op de verzameling positieve gehele getallen $\NN_{\ge1}$. De operatie vermenigvuldigen op de verzameling gehele getallen $\ZZ$.

Voor een neutraal element $e$ geldt $ex=x$ en $xe=x$ (voor alle $x$). (Die tweede gelijkheid hoef je alleen mee te nemen als de operatie niet commutatief is.) Bij de eerste, derde en vijfde operatie is er een neutraal element. Bij de eerste en vijfde is dat $1$; bij de derde de eenheidsmatrix (met enen op de diagonaal van linksboven naar rechtsonder en verder nullen). De tweede operatie heeft geen neutraal element, want er bestaat geen $e\in\NN_{\ge 1}$ waarvoor $e^x=x$ voor alle $x$. Bij de vierde zou $0$ het neutrale element moeten zijn, maar die is niet element van de genoemde verzameling.

Verder

VRAAG 4

Hieronder is een aantal operaties beschreven. Vink alle aan waarvoor ieder element uit de verzameling in kwestie een inverse heeft.

De operatie optelling op de verzameling gehele getallen $\ZZ$. De operatie vermenigvuldigen op de verzameling $2\times 2$-matrices ongelijk aan $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$. De operatie vermenigvuldiging op de verzameling positieve rationale getallen $\QQ_{>0}$. De operatie vermenigvuldiging op de verzameling positieve gehele getallen $\NN_{\ge1}$.

Dat is het geval bij de eerste en derde optie. De inverse van $a\in\ZZ$ is $-a$. De inverse van $b\in\QQ_{>0}$ is $1/b$. Een $2\times2$-matrix $$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$ heeft een inverse precies dan als de determinant $ad-bc\not=0$ en dat is niet altijd het geval. Tot slot zou de multiplicatieve inverse van een positief natuurlijk getal $n$ gelijk zijn aan $1/n$; maar zodra $n\not=1$ is dit zelf geen natuurlijk getal meer en dus geen element van $\NN_{\ge1}$.

Verder

VRAAG 5

Definieert het inproduct van vectoren $$(x_1,x_2,\ldots,y_n)\cdot(y_1,y_2,\ldots,y_n)=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$$een operatie op $\RR^n$ (voor $n>1$)?

Waar Niet waar

Een operatie zou een afbeelding $$\RR^n\times\RR^n\to\RR^n$$ moeten zijn. Het inproduct voegt echter aan twee vectoren een getal, en geen vector, toe. Het is een afbeelding $$\RR^n\times\RR^n\to\RR$$ en daarmee dus geen operatie zodra $n\not=1$.

Klaar!