Wat is het aantal elementen in de verzameling $\bigl\{1,\{2\},\{\{2\}\}\bigr\}$?
De elementen zijn $1$ (een getal), $\{2\}$ (een verzameling) en $\{\{2\}\}$ (een verzameling met één element, die zelf ook weer een verzameling is). Dat zijn dus drie elementen.
VerderWat is het aantal elementen in de verzameling $\{\emptyset\}$?
Er is precies één element: de lege verzameling $\emptyset$ (zonder accolades!). Het maakt voor het tellen van de elementen in een verzameling $\{\ldots\}$ niet uit wat voor elementen er op de puntjes staan: getallen, verzamelingen, ..., of een lege verzameling!
VerderWat is het aantal elementen in de verzameling $\bigl\{1,\{1,2,3,4,5\}\bigr\}$?
De elementen zijn $1$ (een getal) en $\{1,2,3,4,5\}$ (een verzameling). Dat zijn dus twee elementen. Dat $\{1,2,3,4,5\}$ zelf ook een verzameling is die vijf elementen bevat, maakt niet uit.
VerderHoeveel deelverzamelingen heeft de verzameling $\{0,1\}$?
De machtsverzameling bestaat uit alle deelverzamelingen van $\{0,1\}$. Deze bestaat dus in ieder geval uit de twee deelverzamelingen $\{0\}$ en $\{1\}$. Maar daarnaast is ook de verzameling $\{0,1\}$ zelf een deelverzameling van zichzelf. En vergeet ook de lege verzameling $\emptyset$ niet! Dat geeft in totaal dus vier verzamelingen.
VerderWelk van onderstaande beweringen is equivalent met de bewering $A\times B=B\times A$?
Als $A$ of $B$ leeg is, is het product dat ook (dit doet je misschien denken aan vermenigvuldiging met nul). Immers, wat zou $a$ of $b$ dan kunnen zijn in het coördinaatpaar $(a,b)$? En als $A=B$ maakt de volgorde in het product natuurklijk niet uit. Conclusie: ($A=B$ of $A=\emptyset$ of $B=\emptyset$) is het correcte antwoord.
Mocht je het je afvragen: de optie $0=1$ is een uitspraak die onwaar is, ongeacht de keuze van $A$ en $B$. Een uitspraak die equivalent is met $0=1$ is dus altijd onwaar. En bij $1=1$ geldt juist dat het altijd waar is.
Welke van de volgende beweringen is waar? Hier zijn $A$, $B$ en $C$ deelverzamelingen van $\Omega$. Vink alle correcte beweringen aan.
Alle uitspraken zijn waar. Het bewijs gaat steeds in twee delen: je kiest eerst een element uit de verzameling aan de linkerkant van het is-gelijk-teken en bewijst dat het ook een element van de verzameling aan de rechterkant is. Vervolgens neem je een element rechts en bewijs je dat het ook een element links is. Je kunt ook venndiagrammen tekenen.
VerderWaar of niet? De functies $$f\colon\ \ \RR\to\RR,\ x\mapsto x^2$$ en $$g\colon\ \ \RR\to\RR_{\ge 0},\ x\mapsto x^2$$ zijn gelijk.
Een functie is per definitie gegeven door domein, codomein en de grafiek (een deelverzameling van het cartesische product van het domein en het codomein). In dit geval verschillen de codomeinen, en dus is de uitspraak onwaar.
VerderWaar of niet? De functies $$f\colon\ \ \RR\setminus\{1\}\to\RR,\ x\mapsto x + 1$$ en $$g\colon\ \ \RR\setminus\{1\}\to\RR,\ x\mapsto\frac{x^2 - 1}{x - 1}$$ zijn gelijk.
Een functie is per definitie gegeven door domein, codomein en de grafiek (een deelverzameling van het cartesische product van het domein en het codomein). Die zijn in dit geval alle hetzelfde. Dat de functievoorschriften verschillen, doet er niet toe. De uitspraak is dus waar.
VerderLaat $f\colon A\to B$ en $g\colon B\to C$ twee functies zijn. Vink de correcte uitspraken aan.
Als $f$ niet injectief is, dan zijn er $x$ en $y$ met $x\not=y$ waarvoor $f(x)=f(y)$; maar dan ook $g(f(x))=f(f(y))$ en dan is $g\circ f$ dus ook niet injectief. De eerste uitspraak is dus waar.
Als $g\circ f$ injectief is, dan hoeft $g$ dat niet te zijn – tegenvoorbeeld: $A$ een verzameling met maar één element ($g\circ f$–is dan automatisch injectief) en $g$ een willekeurige niet-injectieve functie (zoals $f(x)=x^2$ met $B=C=\RR$). De twee uitspraak is dus onwaar.
Hetzelfde idee leidt tot een tegenvoorbeeld bij de derde uitspraak, die dus ook niet waar is. Neem in dit geval $C$ een verzameling met één element. Dan is $g\circ f$ surjectief als het domein niet leeg is. Neem nu voor $f$ een willekeurige niet surjectieve functie, zoals die kwadratische uit het vorige voorbeeld. (Merk op dat $g$ in dit geval de functie is die alle getallen naar dat ene element afbeeldt – saai, maar effectief.)
Gegeven $c\in C$. Als $g\circ f$ surjectief is, dan is er een $a\in A$ waarvoor $c=g(f(a))$. Maar dan is er dus ook een $b\in B$ waarvoor $c=g(b)$; neem maar $b=f(a)$. Dit bewijst dat $g$ dus ook surjectief is. De laatste uitspraak is dus waar.
Tip: Maak een tekening met puntjes en pijlen.