Touwtje tegen muur

Bekijk de opgave

Oriënteren

In dit geval is de belangrijke figuur een rechthoek. Welke eigenschappen van rechthoek zou je nodig kunnen hebben in dit probleem?  Denk aan:

Wat is een belangrijk concept?

De oppervlakte van een rechthoek bereken je door lengte en breedte te vermenigvuldigen.

De overliggende zijden van een rechthoek zijn even lang.

Pak een touwtje en liniaal en experimenteer met verschillende gevallen. Wat zou je kunnen doen?

Hoe krijg je vat op dit probleem?

Maak berekening bij tenminste drie situaties en vergelijk de oppervlaktes

Probeer ook extreme gevallen te bekijken: kleine oppervlakte, vierkant, ...

Maak een schets, eventueel voor verschillende situaties en zet de gegevens erbij.

Hoe kom je op een idee?

Een schets zou er zo uit kunnen zien, eventueel met concrete lengtes voor de zijden (die optellen tot 1)

Plan maken
en uitvoeren

Als je gevraagd wordt om iets maximaal te maken, kijk dan wat er varieert. Hoe kun je zo'n probleem dan wiskundig benaderen?

Wat voor probleem is dit? En hoe pak je dat aan?

Bij een dergelijk probleem is het handig om een variabele te introduceren voor dat wat je varieert. Vervolgens maak je een formule voor dat wat je maximaal wil maken.

In een meetkundige situatie kan het helpen om algebra te gebruiken. Introduceer dus een variabele x voor wat je actief varieert.

Hoe kun je wiskunde toepassen op dit probleem?

Wat varieert is de lengte van de zijden van de rechthoek. De lengte van één van de zijden noemen we x in het vervolg.
Zodra je een variabele op deze wijze invoert, ga je na welke van de andere relevante grootheden je in x kunt uitdrukken. Wat is dat hier?

De overstaande rechthoekszijde is ook 1. De som van de lengtes van de zijden is 1. Gebruik dit om de lengte van de andere zijde te berekenen en de oppervlakte. Waar kom je dan op uit?

De andere zijde heeft lengte 12x. De oppervlakte is lengte keer breedte: A=x(12x).

Met een formule voor de oppervlakte (zie vorige tak), kun je verder om het maximum van die formule te vinden. 
Hoe vind je het maximum bij een formule?

Hoe bereken je in welke situatie het maximum wordt bereikt?

Je vind hier een kwadratische formule, bijvoorbeeld A=x(12x). Er zijn nu drie mogelijkheden:

A(x)=x2x2, dus A(x)=14x. Het is een bergparabool; hoe zie je dat?

Bij een parabool zit de top midden tussen de nulpunten. Bereken dus de nulpunten en neem het gemiddelde om de top te vinden.

x(12x)=0, als x=0 of 12x=0, etc.

Splits kwadraat af bij A(x)=x2x2 om de kwadratische formule in topvorm a(xp)2+q te schrijven (waar (p,q) de top is).

A(x)=2(x212x)=2((x14)2116)=2(x14)2+18.

Afronden

Voor dat je aan een probleem begint heb je soms een intuïtie over wat de oplossing zou zijn. Na het oplossen kun je je oplossing met die eerste intuïtie vergelijken.

Hier dacht je miscchien dat de oplossing een vierkant zou zijn. Waarom is dat niet zo?

Hoe verhoudt je oplossing zich tot je intuïtie?

Je krijgt één zijde cadeau, zonder daar touw aan te verspillen. Dat wil je zo goed mogelijk uitbuiten.