Binomium van Newton – 3/3

Opgave 5c week 3 cursus Getaltheorie van Hogeschool Utrecht, lerarenopleiding wiskunde master Bekijk de opgave

Oriënteren

Uiteraard komt het resultaat van het vorige onderdeel van pas: (x+1)pxp+1(modp).

Welk resultaat kun je gebruiken?

Plan maken
en uitvoeren

Bij een bewijs met volledige inductie kun je eerst alle structuurelementen opschrijven. In dit geval:

Schrijf P(x) voor de uitspraak ''xpx(modp)''.

P(0) is waar, want ...

Neem nu aan dat P(x) geldt voor een bepaalde 0<x<p. We gaan bewijzen dat dan ook P(x+1) geldt.

Uit P(0) en n(P(x)P(x+1)) volgt met volledige inductie het gevraagde.

 

Hoe begin je aan dit bewijs?

Bij inductie probeer je de uitspraak P(x+1) te relateren aan de P(x)-uitspraak. Werk (x+1)p uit. Wat levert dat op?

Wat is een eerste algebraïsche stap?

(x+1)pxp+1(modp). Pas nu de inductiestap toe.

Uit de inductie hypothese (xpx(modp)) volgt (x+1)pxp+1x+1(modp), hetgeen uitspraak P(x+1) is.

Afronden

Wikipedia is voor wiskunde een rijke bron! Kijk bijvoorbeeld op Wikipedia onder Fermat's little theorem. Hier vind je ook informatie over de omkering van de uitspraak; iets dat in het algemeen ook de moeite waard is om te bestuderen.

Waar vind ik meer informatie over dit resultaat?

Het is altijd verstandig je af te vragen of de voorwaarden ook echt nodig zijn. Zo wordt nieuwe wiskunde ontwikkeld! Onderzoek bijvoorbeeld wat er gebeurt als p niet priem is.

Hoe noodzakelijk zijn de voorwaarden?