De Stelling van Wilson 1/3

Herken de twee elementen in de vraagstelling:

1. Er is een bi-implicatie ($\iff$) waarvan je één richting moet bewijzen: ALS $(n-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}n)$, DAN is $n$ priem.
2. En dit moet je met tegenspraak bewijzen. Je neemt dus aan dat $(n-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}n)$, maar dat tegelijkertijd $n$ geen priemgetal is. Ga voor jezelf na dat als je hieruit een tegenspraak afleidt, dit inderdaad de gevraagd implicatie ($\Leftarrow$) aantoont.

Kijk welke concepten worden gebruikt. In de bewering komen voor: priemgetal en congruentie. Je zou de congruentie kunnen vertalen in: $(n-1)!+1\equiv 0(\mathrm{mod}n)$; en dit betekent dan dat $(n-1)!+1\equiv 0$ een \emph{veelvoud} is van $n$

Vooruitdenken: start met consequenties uitwerken van een aanname die je doet. In dit geval volgt uit '$n$ is samengesteld' dat $n=rs$ met $r,s>1$. Wat heb je hieraan met het oog op de formule in de congruentie?

Omdat $r,s>1$, geldt ook $r,s<n$ dus zijn beide factoren van $(n-1)!$. Het zijn beide óók factoren van $(n-1)!+1$. Tot welke tegenspraak leidt dit?

Besef dat je nu pas één richting van de bi-implicatie hebt bewezen. De rest van de onderdelen van de opgave gaan inderdaad over de andere richting. Dat zal wel ingewikkelder zijn, gezien de hoeveelheid deelvragen...