De Stelling van Euler 1/4

Opgave 6 week 5 cursus Getaltheorie van Hogeschool Utrecht, lerarenopleiding wiskunde master Bekijk de opgave

Oriënteren

Er zijn bij dit soort opgaven altijd verschillende gereedschappen die je mogelijk kunt gebruiken; met name: Euler, Chinese reststelling, Fermat. Ga deze een voor een af en controleer of aan de voorwaarden is voldaan. In dit geval suggereert de opgave al dat je stelling van Euler zou kunnen gebruiken. De voorwaarde bij die stelling is dat 2 (het grondtal) en 19 (de modulus) relatief priem zijn. Dat is inderdaad het geval! Je kunt dus met de stelling aan de slag.

Wat moet je nagaan?

Plan maken
en uitvoeren

Bij modulair machtsverheffen is de stelling van Euler vaak handig. In dit geval zegt die dat 218 congruent is met 1. Hoe kun je dit resultaat gebruiken?

Wat is de kern van de methode?

Bedenk dat 268=2318+14.

Probeer machten met zo weinig mogelijk rekenwerk te doen. Gebruik in dit geval bijvoorbeeld (!) dat 24=163(mod19).

Hoe rond je de methode af?

Bedenk nu dat 214=234+2.

Afronden

Probeer de twee methodes die je hebt gebruikt te beschrijven. Je zult ze vaker nodig hebben.

Wat heb je nu precies gedaan?